Immaginate un’aula di cui non potete vedere gli studenti. Nessun elenco, nessuna fotografia: vi consegnano soltanto due numeri, la media dei voti e la media dei voti al quadrato. Sembra pochissimo, e invece da quei due soli numeri si deduce qualcosa di solido — per esempio che almeno un certo numero di studenti ha preso un voto diverso da tutti gli altri. Non sapete chi, non sapete dove siedono. Sapete quanti, almeno.
Gli zeri della funzione zeta di Riemann sono quell’aula invisibile. Da centosessantasette anni nessuno riesce a guardarli uno per uno, e da mezzo secolo esiste un modo di contarne una parte esattamente così: si misurano due medie e da lì si spreme una stima al ribasso. Il metodo è di Hugh Montgomery, 1973, e ha sempre avuto un difetto — funziona solo dando per buona l’ipotesi di Riemann, cioè proprio la cosa che si vorrebbe dimostrare. Il 10 agosto 2026 Anthropic ha pubblicato un paper che quel difetto lo toglie, e porta il conto degli zeri dimostrati sulla linea dal 41,6% al 67,2%. Il paper è firmato Claude.
Cosa si sapeva, e da quanto
Nell’autunno del 1859 Riemann comunicò all’Accademia di Berlino un memoir di otto pagine sul numero dei primi al di sotto di una certa soglia. L’oggetto centrale è la funzione $\zeta(s)=\sum_{n\ge 1} n^{-s}$, i cui zeri nella striscia critica governano le oscillazioni del conteggio dei primi. Sulla loro posizione orizzontale Riemann scrisse che è sehr wahrscheinlich, molto probabile, che stiano tutti sulla retta $\operatorname{Re}(s)=\tfrac12$; non aveva cercato una dimostrazione, aggiunse, perché non gli serviva per lo scopo immediato della nota. Quell’inciso è diventato l’ipotesi di Riemann, e quella retta la linea critica.
Da allora si è dimostrato tutto tranne l’ipotesi. Hardy nel 1914: gli zeri sulla linea sono infiniti. Selberg nel 1942: sono una frazione positiva del totale — una costante piccola e mai resa esplicita. Poi trentadue anni di silenzio, fino al 1974, quando Levinson introdusse il metodo che avrebbe dominato il resto del secolo (si «mollifica» la zeta vicino alla linea) e portò la frazione a un terzo. Heath-Brown e Selberg osservarono che quegli zeri sono per giunta semplici. Conrey nel 1989 arrivò oltre due quinti; tre raffinamenti successivi — Bui-Conrey-Young nel 2011, Feng nel 2012, Pratt-Robles-Zaharescu-Zeindler nel 2020 — fermarono il record a $5/12$, cioè il 41,66%.
Val la pena fissare la scala del progresso: dal 1989 al 2020, trentun anni e tre lavori, si sono guadagnati meno di due punti percentuali. Il paper di agosto ne guadagna venticinque e mezzo in una volta sola.
Il problema non erano i primi, erano gli zeri
La strada del paper non è quella di Levinson. È una seconda linea, che nasce nel 1973 con un lavoro di Montgomery sulla correlazione a coppie degli zeri. Montgomery calcolò una certa media di secondo ordine sulle coppie di zeri e la riscrisse come una somma sui numeri primi; ne dedusse che almeno due terzi degli zeri sono semplici. È esattamente l’argomento dell’aula invisibile: due momenti, la media e la media dei quadrati, e da lì un conteggio. Il passaggio finale è di una semplicità disarmante — la disuguaglianza $m^2 \ge 2m-1$, valida per ogni intero $m\ge 1$, applicata alle molteplicità degli zeri.
C’era però una condizione: tutto quel ragionamento valeva assumendo l’ipotesi di Riemann. E il punto delicato è capire dove serviva. Non serviva sul lato dei primi: quella è una media di un polinomio di Dirichlet, e vale sempre — un fatto reso completamente esplicito nel 2024 da Baluyot, Goldston, Suriajaya e Turnage-Butterbaugh. Serviva sul lato degli zeri, e per una ragione quasi contabile: se tutti gli zeri stanno sulla linea le loro ordinate sono numeri reali, la somma diventa una somma di quantità positive, e i termini diagonali si possono isolare guardandone il segno. Fuori dalla linea gli zeri sono complessi, la positività termine per termine salta, e con essa l’intero argomento.
Goldston e Suriajaya, in due lavori del 2025 e del 2026, hanno stretto l’assedio: il $2/3$ di Montgomery segue senza ipotesi se si ammette che tutti gli zeri stiano dentro una striscia verticale di larghezza infinitesima attorno alla linea. E hanno messo per iscritto la domanda: cosa seguirebbe se si riuscisse a togliere l’ipotesi di Riemann dalla dimostrazione di Montgomery? Il paper di agosto è la risposta a quella domanda, formulata da chi l’aveva posta.
Sostituire la positività con l’algebra lineare
L’idea è di quelle che si raccontano in un paragrafo e che nessuno aveva raccontato. La formula esplicita di Weil permette di leggere la somma sugli zeri come una forma quadratica hermitiana $W(f,g)$ sulle funzioni test — un oggetto la cui positività su tutto lo spazio è, notoriamente, equivalente all’ipotesi di Riemann. Invece di chiedersi se sia positiva ovunque (domanda impossibile), il paper la restringe a una famiglia finita di funzioni test e guarda la matrice che ne risulta. Su quella matrice finita si legge tutto due volte.
Dal lato dei primi si leggono due numeri, la traccia e la norma di Frobenius: sono i due momenti di Montgomery, e si calcolano con i soli primi fino a $T$, senza ipotesi di sorta. Dal lato degli zeri si legge la forma della matrice: ogni punto distinto sulla linea critica contribuisce un blocco positivo di rango uno, mentre ogni coppia di zeri fuori dalla linea contribuisce un blocco di segnatura $(1,1)$ — un più e un meno, per la legge di inerzia di Sylvester. È qui che avviene la sostituzione: gli zeri fuori linea non vengono più esclusi per segno, vengono contati per struttura.
Il ponte fra le due letture è una disuguaglianza di algebra lineare elementare, conseguenza della disuguaglianza di von Neumann sulla traccia: se una matrice hermitiana si scrive come $P+Q$ con $P$ semidefinita positiva di rango al più $r$ e $Q$ con al più $b$ autovalori positivi, allora
$$r\ \ge\ 2\operatorname{tr}P+4\operatorname{tr}Q-4b-\lVert P+Q\rVert_F^2.$$
È la versione matriciale di $m^2 \ge 2m-1$: la stessa contabilità di Montgomery, dove al posto degli interi ci sono autovalori. Messi insieme i tre ingredienti — i due momenti dal lato dei primi, la struttura a blocchi dal lato degli zeri, la disuguaglianza in mezzo — resta un’aritmetica quasi banale. Con $\lambda$ la larghezza di banda della famiglia di test, la proporzione certificata è $H(\lambda)=2-\frac{1}{\lambda}-\frac{\lambda}{3}$, e $H(1)=\frac23$:
$$\liminf_{T\to\infty}\ \frac{N_0^{*}(T,2T)}{N(T,2T)}\ \ge\ \frac{2}{3}.$$
Ciò che colpisce è l’elenco di ciò che non serve. Niente mollificatori, niente stime di densità degli zeri, nessuna regione libera da zeri. Solo l’equazione funzionale, la formula esplicita, la formula di Riemann-von Mangoldt e medie di polinomi di Dirichlet di lunghezza al più $T$.
I numeri, senza arrotondamenti per eccesso
I teoremi sono cinque. Almeno due terzi degli zeri stanno sulla linea critica (A). Almeno due terzi sono semplici e sulla linea (B) — un enunciato più forte del primo, e che migliora anch’esso un record. Almeno cinque sesti degli zeri sono distinti (C), contro lo 0,6603 di Wu del 2015. Ottimizzando la finestra di test si ritrova esattamente il nucleo di Montgomery-Taylor e le tre costanti diventano 0,6725, 0,6725 e 0,83625 (D): è la ragione per cui Anthropic titola 67,2% e non 66,7%. Infine gli stessi risultati valgono per una singola funzione $L$ di Dirichlet (E), dove il record con il metodo di Levinson era anche lì attorno al 41,7%.
C’è un dettaglio che dice molto sulla natura del risultato: la costante 0,6725 è la costante che Montgomery e Taylor avevano ottenuto nel 1975 assumendo l’ipotesi di Riemann. Non è un miglioramento di quel numero. È lo stesso numero, con l’ipotesi tolta di sotto. Lo stesso vale per il 5/6 degli zeri distinti, che era la costante condizionale di Conrey, Ghosh e Gonek del 1998, e per un risultato collaterale sugli zeri semplici della derivata di $\xi$, dove l’85,838% ottenuto è esattamente il numero che Farmer, Gonek e Lee avevano nel 2014 assumendo l’ipotesi.
Quello che il risultato non dice
Il paper dedica un paragrafo intero — intitolato What the results are not — a smontare le letture ottimistiche, ed è il paragrafo più onesto del documento. Il risultato non ha alcuna implicazione sull’ipotesi di Riemann, in nessuna delle due direzioni. Produce solo limiti inferiori: certifica che almeno due terzi degli zeri sono sulla linea, e sul terzo restante non dice nulla — non che siano fuori, semplicemente che il certificato non li raggiunge.
Di più: gli ingredienti usati (equazione funzionale, formula esplicita, medie di polinomi di Dirichlet corti) sono soddisfatti anche da oggetti per cui l’analogo dell’ipotesi di Riemann è falso — le funzioni di Davenport-Heilbronn, le zeta di Epstein di classe maggiore di uno. Un metodo che vale anche lì non potrà mai dimostrare l’ipotesi: è una garanzia strutturale, non un limite tecnico da superare con più fatica.
E c’è un tetto quantificato. Con la sola informazione di correlazione a coppie disponibile oggi, nessun certificato di questo tipo può superare lo 0,68185 per gli zeri semplici. Il 2/3 dimostrato dista un punto e mezzo dal soffitto del proprio metodo; arrivare al 70%, all’80%, al 90% richiederebbe informazione sulle correlazioni ben oltre ciò che si sa dimostrare. Anthropic lo scrive in chiaro nel post: «non ci aspettiamo che le tecniche usate da Claude portino a dimostrare l’ipotesi di Riemann».
Come è stato trovato
Il paper ha un’appendice, la C, che nel mestiere non si vede quasi mai: il racconto di come il risultato è stato ottenuto, ricavato dal transcript della sessione. Vale la pena leggerlo perché smonta due narrazioni opposte e ugualmente comode.
La sessione precedente aveva provato ad attaccare l’ipotesi di Riemann frontalmente e aveva prodotto 106 candidati sopravvissuti a una prima scrematura. Alla richiesta dell’umano di «fare un salto di fede nelle proprie capacità», il modello rispose classificando i propri stessi 106 candidati in quattro categorie — teoremi noti riscritti, enunciati equivalenti all’ipotesi, verifiche numeriche finite, e cose «quasi tautologiche» — e rifiutando il salto:
Non è un problema di fiducia che io possa risolvere credendoci di più: una dimostrazione dell’ipotesi o esiste sulla pagina e sopravvive al referaggio, o non esiste, e la fiducia non è un ingrediente. Non riporterò l’ipotesi di Riemann come risolta, in questa sessione o in qualunque altra, se non c’è una dimostrazione che sopravvive alla stessa revisione avversariale.
Poi il modello si è messo al lavoro, dispiegando ventitré agenti concorrenti su linee d’attacco distinte, ciascuno con tre istruzioni fisse: scrivere una catena di ragionamento vera, testare ogni meccanismo proposto contro oggetti di controllo per cui l’analogo dell’ipotesi è falso, e nominare il primo passaggio non giustificato. Quasi tutte le linee sono morte contro i propri controlli, con enunciati netti sul perché.
Il teorema è arrivato di traverso. Un agente era stato mandato a cercare un limite superiore all’indice negativo della forma di Weil; ha riferito che quella strada era vuota — l’indice negativo di ogni compressione finita è zero, e uno zero non limita niente — ma che il conteggio duale, gli indici positivi invece di quelli negativi, sembrava certificare metà degli zeri sulla linea. La reazione del modello fu di incredulità dichiarata: «il record attuale è 5/12 e ci sono voluti ottant’anni per arrivarci, quindi questa è una pretesa straordinaria e il mio prior è che sia sbagliata. Non vi sto dicendo che metà degli zeri sono sulla linea. Vi sto dicendo che un agente ha prodotto un argomento con quella conclusione, e che la disuguaglianza principale ha almeno due giunture su cui scommetterei il fallimento».
Seguono tre revisori ostili, ciechi l’uno all’altro, ciascuno assegnato a un modo specifico di fallire — la localizzazione, il lato dei primi, l’algebra lineare — più un test «dimostra troppo» che rifà l’identico calcolo sulle funzioni di Davenport-Heilbronn ed Epstein per vedere se certifica anche il falso. Sono sopravvissuti tutti e tre, e i controlli hanno certificato meno, non di più: esattamente il comportamento che ci si aspetta da un metodo sano. Il passaggio da 1/2 a 2/3 è arrivato dopo, da un agente diverso che ha dimostrato la disuguaglianza rango-traccia. Il verdetto finale, dopo dieci passate indipendenti, è la frase più significativa dell’appendice: «adesso penso che sia probabilmente vero, ed è certamente oltre il punto in cui altre copie di me che lo guardano aggiungono informazione. Serve un teorico dei numeri umano».
I numeri dell’operazione, dal post di Anthropic: due sessioni in Claude Code, circa 650 idee fallite prima di quella buona, un giorno e mezzo di coordinamento fra una sessantina di subagenti, 2.400 comandi di shell, 31 milioni di token in output. Jarred Sumner, che ha condotto la sessione, non è un matematico e i suoi interventi sono descritti come «più motivazionali che tecnici». Levent Alpöge e Ralph Furman, matematici in Anthropic, hanno studiato e validato il risultato dopo la sessione e se ne assumono la responsabilità di comunicazione. Brian Conrey e Dan Goldston — due dei nomi citati nella storia del problema — hanno letto il manoscritto con poco preavviso.
Cosa è verificabile, e cosa no
Qui sta, a mio parere, la parte più interessante per chi lavora con questi strumenti e non con la zeta. Un risultato firmato da un modello ha un problema di fiducia che nessun curriculum risolve, e il paper prova a risolverlo per costruzione: c’è una formalizzazione completa in Lean 4 dei cinque teoremi, contro la definizione di $\zeta$ di Mathlib, senza sorry e con gli enunciati che non portano ipotesi. L’audit del repository riporta che i teoremi principali dipendono solo dai tre assiomi standard di Lean. Non è un’opinione su quanto sia bravo il modello: è una macchina che ricontrolla ogni passaggio. Come effetto collaterale, la disuguaglianza di von Neumann sulla traccia e la legge di inerzia di Sylvester per le forme hermitiane — che in Mathlib non c’erano — adesso ci sono.
Restano tre buchi, e vanno detti. Il primo: non c’è peer review nel senso convenzionale, non ancora. Il secondo: il modello usato è una versione di ricerca non rilasciata, quindi l’esperimento non è riproducibile da terzi e non è distinguibile quanto pesi il modello e quanto l’orchestrazione. Il terzo, minore ma istruttivo: l’appendice B cita uno script SymPy come verifica simbolica indipendente delle costanti e dichiara che è incluso nel repository al tag v1.0. Non c’è. A quel tag il repository contiene 389 file e nemmeno uno è Python (l’ho controllato). Nulla di drammatico — la formalizzazione Lean è la verifica che porta il peso — ma è esattamente il genere di scarto fra ciò che un documento dichiara e ciò che pubblica su cui, quando l’autore è un modello, conviene prendere l’abitudine di guardare.
Il teorema, se la formalizzazione regge, non dipende da nulla di tutto questo. Il risultato sperimentale — «un modello ha fatto questo» — sì, e le due cose vanno tenute separate anche quando arrivano nello stesso PDF.
La posta in gioco
La tentazione di leggere questa notizia in uno dei due modi facili è forte. «L’AI ha risolto la matematica» è falso: il lavoro pesante è recente e umano — Baluyot, Goldston, Suriajaya, Turnage-Butterbaugh per il lato dei primi, Bombieri per l’osservazione sull’indice — e il contributo è aver visto come i pezzi si incastrano. «È solo una calcolatrice sofisticata» è altrettanto falso: l’incastro è l’unica cosa che contava, nessuno l’aveva visto in cinquant’anni, e secondo il resoconto è venuto da lì.
Quello che mi sembra il fatto nuovo non è la costante. È l’apparato. Ventitré agenti su linee divergenti, ognuno con gli stessi oggetti di controllo su cui morire; revisori ciechi assegnati a modi specifici di fallire invece che al generico «controlla la dimostrazione»; un agente fresco che ridimostra il passaggio chiave dal solo enunciato; e alla fine una formalizzazione che toglie di mezzo la questione della fiducia. È un protocollo, ed è replicabile su problemi molto più piccoli di quello di Riemann — probabilmente sul vostro.
Il paper è firmato «Claude», in maiuscolo, dove i paper mettono il nome dell’autore. Nei ringraziamenti c’è una frase che vale il documento intero: l’autore ringrazia l’umano che gli ha posto il problema per «l’insistenza su un tentativo genuino». Non per l’idea. Per l’insistenza.
Il paper
Claude (Anthropic, San Francisco), More than two thirds of the zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line, 10 agosto 2026. Formalizzazione Lean 4 in anthropics/zeta-23-lean, licenza Apache 2.0. Post di accompagnamento: Learning more about Claude’s mathematical capabilities, anthropic.com.
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